Etimologi Matematika

Kata "matematika" berasal dari Yunani μάθημα (máthēma), yang berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu, yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika.

Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristotle, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".[9] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.

Disunting dari http://aritsantoso.student.fkip.uns.ac.id/

Barisan Dan Deret Geometri

1.BARISAN GEOMETRI

Definisi : Barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap. Bilangan ini disebut rasio (r)
U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1

Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)

2. DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1 = a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n) Keterangan:
1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku Un > Un-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0 4.
Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 5. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1 + U2 + U3 + ... Un = a + ar + ar² ...n=1 dimana n = ¥ dan -1=< r < 1 sehingga rn=0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat : Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ................. Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r² Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r

Disunting dari http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0414%20Mat%202-5c.htm

Baris Dan Deret Aritmatika

# BARISAN ARITMATIKA #

Dalam pembahasan sebelumnya, telah diketahui bahwa
barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . .,Un. Barisan bilangan ini disebut sebagai barisan bilangan aritmatika, jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap.
Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan "b".
Jadi,Jika dalam barisan aritmatika tersebut suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah:
a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , a+(n–1)b
U1, U2, U3, .......Un-1,
Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

# DERET ARITMATIKA #

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0 dan Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika,maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a ,a + b

Disunting dari http://free.vlsm.org/

Pola Dan Barisan Bilangan

A. Pola Bilangan

1. Pengertian Pola Bilangan

Sebuah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu, maka yang demikian itu disebut pola bilangan.

Beberapa himpunan bagian bilangan asli tersebut antara lain:

Himpunan bilangan ganjil = {1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . }

Himpunan bilangan genap = {2 , 4 , 6 , 8 , . . .}

Himpunan bilangan kuadrat = {1 , 4 , 9 , 16, . . .}, dan

Himpunan bilangan prima = {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , . . . }

Untuk selanjutnya akan dipelajari mengenai pola-pola bilangan yang merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan asli.

2. Pola Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap

a. Pola Bilangan Ganjil

Salah satu dari himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan ganjil. Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan dua. Dalam hal ini karena pembahasan hanya pada himpunan bagian dari bilangan asli, maka anggota dari himpunan bilangan asli ganjil adalah {1, 3, 5, 7, 9 . . .}

Dari pola-pola bilangan ganjil, kemudian dapat ditentukan jumlah bilangan asli ganjil.

Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama =n² (n kuadrat)

b. Pola Bilangan Genap

Selain bilangan ganjil, yang termasuk himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan genap, yaitu { 2 , 4 , 6 , 8 , . . . }.

Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama adalah:

2 + 4 + 6 + 8 + . . . + n = n ( n + 1)

3. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal

kata pascal diberikan untuk mengenang Blaise Pascal (1623-

1662), seorang ahli matematika bangsa Perancis yang

menemukan susunan bilangan-bilangan tersebut. Jika di

perhatikan, ternyata terdapat hubungan antara suatu bilangan

dengan jumlah bilangan berdekatan yang terdapat pada baris

yang ada tepat di atasnya.

Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2^n-1

B. Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan dalam matematika yang diurutkan dengan aturan tertentu. Tiap – tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan tersebut disebut suku dari barisan itu. Secara umum barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . . , Un, dengan U1 adalah suku pertama dan Un adalah suku ke-n.

Menentukan Suku Barisan

Untuk menentukan suku-suku barisan bilangan dapat dicari dari melihat suku-suku barisan bilangan yang telah diketahui.

Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan

Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicaridengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan pembentukan barisan bilangan.

Disunting dari Buku BSE Matematika Kelas XI SMK

Relasi Dan Fungsi

A. Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu:

1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan

2. Dengan Diagram Panah

3. Dengan Diagram Cartesius

4. Dengan Rumus

1. Himpunan Pasangan Berurutan.

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.

2. Diagram Panah

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:

1.Membuat dua lingkaran atau ellips

2.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B

3. x dan y dihubungkan dengan anak panah

4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi

5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

3. Diagram Cartesius

Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.

1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar

2. y=B diletakkan pada sumbu tegak

3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)

4. Dengan Rumus

f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}

B. Fungsi

Definisi Fungsi

Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).

Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).

Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf

lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f

kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.

Sifat Fungsi :

1) Fungsi f :A→ B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.

2) Fungsi f :A→ B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.

3) Fungsi f:A→ B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.

4) Fungsi f:A→ B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)

Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI SATU SATU.

Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.

Jenis-Jenis Fungsi

Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah :

A). Fungsi Konstan

Suatu fungsi f : A→B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

B). Fungsi Identitas

Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lambang I sehingga I(x) = x.

C). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak

Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.

D). Fungsi Linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

E). Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

F). Fungsi Tangga (Bertingkat)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

G). Fungsi Modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

H). Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.

Fungsi Invers

Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan

tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.

Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f ^–1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif

atau dalam korespondensi satu-satu.

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara

berikut ini.

a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.

b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).

c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f ^–1(x).

Aljabar Fungsi

a. Penjumlahan f dan g didefinisikan (f + g) (x) = f(x) + g(x).

b. Pengurangan f dan g didefinisikan (f – g)(x) = f(x) – g(x).

c. Perkalian f dan g didefinisikan (f +g)(x) = f(x) + g(x).

Fungsi Komposisi

Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi.

Disunting dari Buku Matematika BSE Kelas XI SMK

Sudut-Sudut Istimewa Trigonometri

Sudut (90 - a)
sin (90 - a) = Cos a
Cos (90 - a) = sin a
tan (90 - a) = cot a

Sudut (90 + a)
sin (90 + a) = Cos a
Cos (90 + a) = - sin a
tan (90 + a) = - cot a

Sudut (180 - a)
sin (180 - a) = sin a
Cos (180 - a) = - Cos a
tan (180 - a) = - tan a

Sudut (180 + a)
sin (180+a) = -sina
Cos (180 + a) = - Cos a
tan (180 + a) = tan a

Sudut (270 - a)
sin (270 - a) = - Cos a
cos (270 - a) = - sin a
tan (270 - a) = ctg a

Sudut (270 + a)
sin (270 + a) = -cos a
cos (270 + a) = sin a
tan (270 + a) = - cot a

Sudut (360 - a)
sin (360 - a) = - sin a
Cos (360 - a) = Cos a
tan (360 - a) = - tan a

Sudut (360 + a)
sin (360 + a) = sin a
Cos (360 + a) = Cos a
tan (360 + a) = tan a

Sudut Negatif
sin (-a) = - sin a
Cos (-a) = Cos a
tan (-a) = - tan a

Disunting dari http://free.vlsm.org/

Trigonometri?????

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalambahasa Inggris dan Perancis.

Disunting dari :http://educentre.wordpress.com/